Turnīrā piedalās \(n\) šahisti \((n \geq 2)\), katrs ar katru citu spēlē vienu reizi. Par uzvaru spēlētājs iegūst 1 punktu, par neizšķirtu \(\frac{1}{2}\) punkta, par zaudējumu 0 punktus. Pēc turnīra beigām katrs spēlētājs aprēkināja divus skaitļus: \(Z\) - visu to spēlētāju punktu summu, kam viṇš zaudējis, un \(U\) - visu to spēlētāju punktu summu, kurus viṇš uzvarējis. Vai var gadīties, ka katram spēlētājam pastāv nevienādība \(Z>U\) ?
Nē, nevar. Apzīmējam \(i\)-tā šahista iegūto punktu skaitu ar \(P_{i}\), bet atbilstošās summas \(i\)-jam šahistam ar \(Z_{i}\) un \(U_{i}\). Apskatām izteiksmi \(P_{1}\left(Z_{1}-U_{1}\right)+P_{2}\left(Z_{2}-U_{2}\right)+\ldots+P_{n}\left(Z_{n}-U_{p}\right)\). Tās vērtība ir 0 , jo šī izteiksme katrai rezultatīvai partijai starp \(i\)-to un \(j\)-to šahistu satur vienu locekli \(+P_{i} P_{j}\) un vienu locekli \(-P_{i} P_{j}\). Tā kā skaitļi \(P_{i} \geq 0\) (visi \(P_{i}\) vienlaicīgi nevar būt \(0\)), tad visas starpības \(\left(Z_{i}-U_{i}\right)\) nevar būt vienlaicīgi pozitīvas.