Vai izteiksmi \((2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) ... (2^{128} + 1)\) var izteikt formā \(2^a - 2^b\), kur \(a\) un \(b\) ir veseli skaitļi?
Jā, var. Reizinām doto izteiksmi ar \((2 - 1)\). Tā kā reizinātāja vērtība ir 1, tas nemainīs izteiksmes vērtību. Tad iegūstam, ka
\[(2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) ... (2^{128} + 1).\]
Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas, pirmo divu iekavu reizinājums kļūst par \((2^2 - 1)\). Tad atkal varam lietot saīsinātās reizināšanas formulu, katru reizi iegūstot reizinātāju \((2^a - 1)\), ja nākamais reizinātājs izteiksmē ir \((2^a + 1)\).\[(2^2 - 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) ... (2^{128} + 1) =\]
\[= (2^4 - 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) ... (2^{128} + 1) =\]
\[= (2^8 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) ... (2^{128} + 1) = ... = (2^{128} - 1)(2^{128} + 1) =\]
\[= 2^{256} - 1 = 2^{256} - 2^0.\]