Viens aiz otra uzrakstīti 9 veseli (ne noteikti dažādi) skaitļi. Zināms, ka katru piecu pēc kārtas uzrakstītu skaitļu vidējais aritmētiskais ir 10. Vai iespējams, ka visu 9 uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais ir 2026?
Piezīme. Par doto skaitļu vidējo aritmētisko sauc doto skaitļu summas dalījumu ar šo skaitļu skaitu.
Jā, ja viens aiz otra uzrakstīti, piemēram, šādi skaitļi
\[ 0, 0, 0, 9 \cdot 2026 - 50, 100 - 9 \cdot 2026, 0, 0, 0, 9 \cdot 2026 - 50. \]
Redzams, ka katru piecu pēc kārtas uzrakstīto skaitļu vidējais aritmētiskais ir\[ \frac{0 + 0 + 0 + (9 \cdot 2026 - 50) + (100 - 9 \cdot 2026)}{5} = 10, \]
bet visu deviņu skaitļu vidējais aritmētiskais ir\[ \frac{0 + 0 + 0 + (9 \cdot 2026 - 50) + (100 - 9 \cdot 2026) + 0 + 0 + 0 + (9 \cdot 2026 - 50)}{9} = 2026. \]
*Piezīme.* Paskaidrosim, kā šādus skaitļus atrast. Apzīmēsim šos skaitļus ar \(a_1\) līdz \(a_9\). Tā kā katru piecu pēc kārtas sekojošu skaitļu vidējais aritmētiskais ir 10, tad to summa ir 50. Bet visu skaitļu summa ir \(9 \cdot 2026\) (jo to vidējais aritmētiskais ir 2026). Ievērosim, ka pirmo četru skaitļu summa ir \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 9 \cdot 2026 - 50\), jo to var iegūt no visu deviņu skaitļu summas, atņemot pēdējo piecu skaitļu summu. Zinot to, mēs varam aprēķināt \(a_5\) vērtību:\[ a_5 = (a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5) - (a_1 + a_2 + a_3 + a_4) = 50 - (9 \cdot 2026 - 50) = 100 - 9 \cdot 2026. \]
Skaitļus \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\) un \(a_4\) var izvēlēties patvaļīgi (bet tā, lai to summa būtu \(9 \cdot 2026 - 50\)). Skaitlim \(a_6\) jābūt vienādam ar \(a_1\) (jo \(a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6\)). Līdzīgi arī \(a_7 = a_2\), \(a_8 = a_3\) un \(a_9 = a_4\).