Atrisinājums

Atbilde: 12 skaitļus.

Sadalot 210 pirmreizinātājos, iegūsim \(210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\). Ja skaitlis dalās ar 210, tad tas dalās ar katru no šiem pirmreizinātājiem 2, 3, 5 un 7. Savukārt, ja skaitlis nedalās ar 210, tad tas ar vismaz vienu no tiem nedalās.

Vispirms pamatosim, ka uz tāfeles var būt uzrakstīti ne vairāk kā 12 skaitļi. Sāksim ar to, ka pamatosim, ka uz tāfeles drīkst būt uzrakstīti ne vairāk kā trīs skaitļi, kas nedalās ar 2. Patiešām, ja uz tāfeles būtu uzrakstīti četri skaitļi, kas nedalās ar 2, tad arī to reizinājums nedalītos ar 2, tātad nedalītos arī ar 210. Bet tas ir pretrunā ar doto, ka jebkuru četru uz tāfeles uzrakstīto skaitļu reizinājums dalās ar 210. Analoģiski var pamatot, ka uz tāfeles var būt ne vairāk kā trīs skaitļi, kas nedalās ar 3, trīs skaitļi, kas nedalās ar 5 un trīs skaitļi, kas nedalās ar 7. Tā kā katrs uz tāfeles uzrakstītais skaitlis nedalās ar kādu no šiem četriem skaitļiem 2, 3, 5, 7 (jo tas nedalās ar 210), tad uz tāfeles drīkst būt uzrakstīti ne vairāk kā \(3 + 3 + 3 + 3 = 12\) skaitļi.

Atliek parādīt, ka uz tāfeles var uzrakstīt 12 skaitļus, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem. Der, piemēram, šādi skaitļi: 105, 315, 525, 70, 140, 280, 42, 84, 126, 30, 60, 90. Pamatosim, ka neviens no tiem nedalās ar 210, bet jebkuru četru no tiem reizinājums dalās. Pirmie trīs skaitļi 105, 315 un 525 katrs dalās ar 3, 5 un 7, bet nedalās ar 2. Līdzīgi katrs no skaitļiem 70, 140 un 280 dalās ar 2, 5 un 7, bet nedalās ar 3, katrs no skaitļiem 42, 84 un 126 dalās ar 2, 3 un 7, bet nedalās ar 5 un katrs no skaitļiem 30, 60 un 90 dalās ar 2, 3 un 5, bet nedalās ar 7. Redzams, ka neviens no šiem 12 skaitļiem nedalās ar 210, jo katrs no tiem nedalās vai nu ar 2, vai ar 3, vai ar 5, vai arī ar 7. Bet jebkuru četru reizinājums dalās ar 210, jo tas noteikti dalās gan ar 2, gan ar 3, gan ar 5, gan ar 7.