Atrisinājums

Atbilde: \(n\) var būt 8, 9 vai 10. Nosauksim trijstūri, kam visas virsotnes ir sarkanajos punktos, par sarkano trijstūri. Katrs sarkano punktu trijnieks mums var veidot sarkano trijstūri, izņemot, ja šie trīs punkti atrodas uz vienas taisnes. Līdz ar to sarkano trijstūru skaitu \(n\) mēs varam aprēķināt no visu trijnieku skaita atņemot to trijnieku skaitu, kuros punkti atrodas uz vienas taisnes.

Pamanīsim, ka kopā mums ir 10 sarkano punktu trijnieki. Ievērosim, ka katru trijnieku mēs varam raksturot ar to divu atlikušo sarkano punktu pāri, kas neietilpst šajā trijniekā. Tātad sarkano punktu trijnieku ir tikpat, cik sarkano punktu pāru. Bet no 5 punktiem var izveidot tieši 10 pārus (katrs punkts no 5 punktiem var būt pārī kopā ar jebkuru no 4 citiem, bet katrs pāris šādi tiek ieskaitīts divreiz, līdz ar to pāru skaits ir \(\frac{5 \cdot 4}{2} = 10\)).

Tagad aprēķināsim, cik mums var būt tādu trijnieku, kuros punkti atrodas uz vienas taisnes. Var būt, ka

• Nekādi 3 punkti nav uz vienas taisnes. Šajā gadījumā ir 10 sarkanie trijstūri (skat. 13. att.).
• Ir tieši viens punktu trijnieks, kas atrodas uz vienas taisnes. Šajā gadījumā mums būs \(10 - 1 = 9\) sarkanie trijstūri (skat. 14. att.).
• Ir 2 punktu trijnieki, kas katrs ir uz savas taisnes (ar 1 kopīgu punktu). Šajā gadījumā mums ir \(10 - 2 = 8\) sarkanie trijstūri (skat.15. att.).

Vairāk punktu trijnieku uz vienas taisnes nav iespējams iegūt, jo katriem diviem trijniekiem var būt lielākais viens kopīgs punkts, līdz ar to jebkuri divi šādi trijnieki jau kopā satur visus \(5\) punktus. Bet tad, ja būtu vēl trešais šāds punktu trijnieks, tad tam ar kādu no pirmajiem diviem būtu vismaz divi kopīgi punkti. Attiecīgi esam pierādījuši, ka visas iespējamās \(n\) vērtības ir \(\{8, 9, 10\}\).