Atrisinājums

Tā kā \(\angle DAB\) ir hordas-pieskares leņķis un \(\angle ACB\) – ievilkts leņķis lokam \(AB\), tad \(\angle DAB = \angle ACB\) (skat. 10.att.). Analogi \(\angle CAE = \angle ABC\). Aplūkojot \(\triangle EAC\) un \(\triangle ADB\), tie ir vienādsānu pēc dotā. Vienādsānu trijstūrī pamata pieleņķi ir vienādi, tātad \(\angle ADB = 90^\circ - \frac{\angle ACB}{2}\) un \(\angle AEC = 90^\circ - \frac{\angle ABC}{2}\). Tā kā \(L\) ir trijstūrī \(ABC\) ievilktās riņķa līnijas centrs, tad \(AL\) un \(BL\) ir bisektrises. Tad no trijstūra iekšējo leņķu summas

\[ \angle ALB = 180^\circ - \left(\frac{\angle CAB}{2} + \frac{\angle ABC}{2}\right) = 180^\circ - \frac{(180^\circ - \angle ACB)}{2} = 90^\circ + \frac{\angle ACB}{2}. \]

Tas nozīmē, ka \(\angle ADB + \angle ALB = 180^\circ\). Līdzīgi varam iegūt, ka \(\angle AEC + \angle ALC = 180^\circ\), kas nozīmē, ka ap četrstūriem \(ALBD\) un \(ALCE\) var apvilkt riņķa līniju. Tas nozīmē, ka \(\angle DLB = \angle DAB = \angle ACB\) (kā leņķi kas balstās uz viena loka ap četrstūri \(ALBD\) apvilktajā riņķa līnijā). Novilksim pieskari \(\triangle BLC\) apvilktai riņķa līnijai punktā \(L\) un atliksim uz tās punktu \(T\) tā, lai \(T\) ir tuvāk \(B\) nekā \(C\). No pieskares īpašības izriet, ka \(\angle TLB = \angle LCB = \frac{\angle ACB}{2}\), kas nozīmē, ka

\[ \angle TLD = \angle DLB - \angle TLB = \angle ACB - \angle TLB = \angle ACB - \frac{\angle ACB}{2} = \frac{\angle ACB}{2}. \]

Ievērosim, ka \(\angle LCA = \angle AEL = \frac{\angle ACB}{2}\) (kā leņķi, kas balstās uz viena loka ap četrstūri \(ALCE\) apvilktajā riņķa līnijā), kas nozīmē, ka \(\angle TLD = \angle AEL = \frac{\angle ACB}{2}\). Tad \(TL\) ir ap trijstūri \(DLE\) apvilktās riņķa līnijas pieskare (hordas-pieskares leņķa apgrieztā īpašība). Tas nozīmē, ka \(TL\) ir abu riņķa līniju pieskare, tātad abas riņķa līnijas pieskaras punktā \(L\).