Atrisinājums

1. atrisinājums. Apzīmēsim \(n! - 144 = x^2\). Lai \(x \in N\), nepieciešams, lai \(n \geq 6\), citādi vienādojuma kreisā puse pieņem negatīvas vērtības, bet naturāla skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs. Ja \(n \geq 7\), tad vienādojuma kreisā puse vienmēr dos atlikumu 3, dalot ar 7, jo, ja \(n \geq 7\), tad \(n!\) dalās ar 7, bet 144 dod atlikumu 4, dalot ar 7. Vienādojuma labajā pusē ir naturāla skaitļa kvadrāts. Aplūkosim, kādus atlikumus var dot naturāla skaitļa kvadrāts, dalot to ar 7.

Tā kā naturāla skaitļa kvadrāts nekad nevar dot atlikumu 3, dalot ar 7, tad iegūta pretruna un \(n\) nevar būt lielāks vai vienāds kā 7. Atliek pārbaudīt vērtību \(n = 6\). Tad \(6! - 144 = 720 - 144 = 576 = 24^2\). Vienīgā \(n\) vērtība, kas atbilst uzdevuma nosacījumiem, ir \(n = 6\).

2. atrisinājums. Ja \(n \leq 5\), tad vienādojuma kreisā puse ir negatīva. Līdz ar to \(n \geq 6\). Vērtība \(n = 6\) der kā atrisinājums, bet \(n = 7\) neder, jo \(7! - 144 = 4896\) nav naturāla skaitļa kvadrāts. Atliek pierādīt, ka vienādojumam \(n! - 144 = a^2\) nav atrisinājuma naturālos skaitļos, ja \(n \geq 8\).

Ja \(n \geq 8\), tad \(n!\) dalās ar \(3 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 = 144 \cdot 4\), tātad var uzrakstīt, ka \(n! = 4 \cdot 144 \cdot k\) kādam naturālam \(k\). Ievietojot to izteiksmē, iegūstam, ka \(4 \cdot 144 \cdot k - 144 = a^2\).

Tā kā vienādojuma kreisā puse dalās ar 144, tad dalās arī labā, tātad \(a^2\) dalās ar 144 jeb \(a\) dalās ar 12. Izdalot abas puses ar 144, iegūstam \(4k - 1 = \left(\frac{a}{12}\right)^2\). Tā kā vienādojuma kreisā puse ir nepāra skaitlis, tad secinām, ka arī labā vienādojuma puse ir nepāra skaitlis, tātad arī \(\frac{a}{12}\) ir nepāra skaitlis, tātad \(\frac{a}{12} = 2m + 1\) kādam veselam skaitlim \(m\).

Ievietojot to vienādojumā, iegūstam, ka

\[ 4k - 1 = (2m + 1)^2 \]

\[ 4k - 1 = 4m^2 + 4m + 1 \]

\[ 4k - 4m^2 - 4m = 2 \]

Iegūstam pretrunu, jo vienādojuma kreisā puse dalās ar 4, bet labā nedalās.