Atrisinājums

No pirmā vienādojuma izsakām \(z = x + y - 1\) un ievietojam otrajā vienādojumā, lai iegūtu, ka

\[ x^2 - y^2 + (x + y - 1)^2 = 1; \]

\[ x^2 - y^2 + x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2xy + 1 = 1; \]

\[ 2(x^2 - x - y + xy) = 0 \quad \Rightarrow \quad 2(x(x + y) - 1(x + y)) = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 1)(x + y) = 0. \]

Lai šī vienādība būtu spēkā, vai nu \(x = 1\), vai \(x = -y\). Ja \(x = 1\), tad no pirmās vienādības \(y = z\). Ievietojot šos lielumus trešajā vienādojumā, iegūst \(1^3 + y^3 - y^3 = 1\) jeb \(1 = 1\), kas spēkā visiem \(y \in \mathbb{R}\). Arī otrajā vienādojumā ievietojot šo atrisinājumu, vienādība ir spēkā. Tātad der \((1; y; y)\), kur \(y \in \mathbb{R}\). Ja \(x + y = 0\), tad no pirmās vienādības \(z = -1\) un jāpārbauda trijnieki \((x; -x; -1)\), kur \(x \in \mathbb{R}\).

\[ \begin{cases} x - x - (-1) = 1 \\ x^2 - (-x)^2 + (-1)^2 = 1 \\ x^3 + (-x)^3 - (-1)^3 = 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} x - x + 1 = 1 \\ x^2 - x^2 + 1 = 1 \\ x^3 - x^3 - (-1)^3 = 1 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} 1 = 1 \\ 1 = 1 \\ 1 = 1 \end{cases} \]

Tātad dotās vienādojumu sistēmas atrisinājumi ir \((1; x; x)\) un \((x; -x; -1)\), kur \(x \in \mathbb{R}\).