Atrisinājums

Tā kā \(S(\triangle BFD) = 4\) un \(S(\triangle EFD) = 2\), un abus šo trijstūru laukumus var izteikt, izmantojot vienu un to pašu augstumu no punkta \(D\) pret taisni \(EB\), iegūstam, ka \(EF : FB = 1 : 2\) (skat. 6.att.). No tā, ka \(ED \parallel BC\), un ka šīs paralēlās taisnes krusto nogriežņi \(EB\) un \(CD\), izriet, ka \(\triangle EDF \sim \triangle BCF\) \((\ell\ell)\), jo \(\angle EDF = \angle BCF\) un \(\angle DEF = \angle FBC\) kā iekšējie šķērsleņķi. Tā kā līdzības koeficients ir \(k = \frac{EF}{FB} = \frac{1}{2}\), tad laukumu attiecība ir \(S(\triangle EDF) : S(\triangle BCF) = k^2 = \frac{1}{4}\), no kā iegūstam, ka \(S(\triangle BCF) = 8\). No šo trijstūru līdzības arī seko, ka \(DF : FC = 1 : 2\), un, analoģiski iepriekšējam spriedumam, var secināt, ka \(S(\triangle CEF) = 4\). Tādējādi trapeces \(BCED\) laukums ir visu tajā esošo trijstūru laukumu summa: \(S(BCED) = S(\triangle BCF) + S(\triangle CEF) + S(\triangle EFD) + S(\triangle BFD) = 8 + 4 + 2 + 4 = 18\). Tā kā \(ED : BC = 1 : 2\) (no līdzīgiem trijstūriem) un no \(\angle A\)– kopīgs, \(\angle AED = \angle ACB\) (kāpšļu leņķi pie \(ED \parallel CB\), krustojot \(AC\)) secinām, ka \(\triangle AED \sim \triangle ACB\) \((\ell\ell)\). Tad \(S(\triangle AED) : S(\triangle ACB) = 1 : 4\). Tātad trapeces \(BCED\) laukums veido \(\frac{3}{4}\) no trijstūra \(ABC\) laukuma daļām, un līdz ar to \(S(\triangle ABC) = 24\).