Atrisinājums

1.atrisinājums. Atliekam punktu \(X\) uz \(CA\) tā, ka \(BX\) ir \(\angle CBD\) bisektrise, un punktu \(Y\) uz \(CA\) tā, ka \(DY\) ir \(\angle CDB\) bisektrise (skat. 4.att.).

Ievērosim, ka tad \(\angle XBD = \angle CAD\) un \(\angle YDB = \angle CAB\), jo bisektrise dala leņķi uz pusēm. Četrstūrī \(XBAD\) leņķi \(\angle XBD = \angle CAD\), no kā var secināt, ka ap \(XBAD\) var apvilkt riņķa līniju (apgrieztā īpašība uz vienu loku balstītajiem ievilktajiem leņķiem). Analogi no leņķiem \(\angle YDB = \angle CAB\) var secināt, ka ap \(ABYD\) var apvilkt riņķa līniju. Tas nozīmē, ka trijstūra \(ABD\) apvilktā riņķa līnija krusto \(CA\) punktos \(X, Y\) un \(A\). Tā kā visi trīs no šiem punktiem atrodas uz vienas taisnes, tā ir pretruna, izņemot gadījumu, kad \(X = Y\). Secinām, ka \(\angle CBD\) un \(\angle CDB\) bisektrises krustojas punktā \(X\), kas atrodas uz \(CA\). Aplūkojot trijstūri \(BCD\), \(CX\) ir \(\angle BCD\) bisektrise, jo trijstūra bisektrises krustojas vienā punktā.

2.atrisinājums. Atliekam punktu \(X\) uz \(CA\) tā, ka \(BX\) ir \(\angle CBD\) bisektrise (skat. 5.att.)

Ievērosim, ka tad \(\angle XBD = \angle CAD\), jo bisektrise dala leņķi uz pusēm. Tad ap četrstūri \(BXDA\) var apvilkt riņķa līniju (apgrieztā īpašība uz vienu loku balstītiem ievilktajiem leņķiem). Tas nozīmē, ka četrstūrī \(XBAD\) leņķi \(\angle BAX = \angle BDX\) kā uz viena loka balstītie ievilktie leņķi. Tā kā \(\angle CDB = 2 \angle CAB\) un \(\angle XDB = \angle CAB\), tad \(\angle XDC = \angle XDB\) jeb \(XD\) ir leņķa \(\angle CDB\) bisektrise. Tā kā trijstūra bisektrises krustojas vienā punktā, tad \(CX\) ir \(\angle BCD\) bisektrise.