Atrisinājums

Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(a < b < c\). Tad \(a + b < a + c < b + c\) un \(ab < ac < cb\). Ja pieņem, ka uz tāfeles ir trīs dažādi skaitļi, tad jāizpildās, ka \(a + b = ab\), \(a + c = ac\), \(b + c = bc\). Apskatīsim vienādojumus \(a + b = ab\) un \(a + c = ac\). Atņemot tos vienu no otra, iegūst:

\[ a + b - (a + c) = ab - ac; \]

\[ b - c = a(b - c) \; | : (b - c) \neq 0; \]

\[ a = 1. \]

Analogi iegūst, ka \(b = 1\) un \(c = 1\). Iegūta pretruna, jo skaitļiem jābūt dažādiem. Pierādīsim, ka uz tāfeles var būt uzrakstīti 4 dažādi skaitļi. Der, piemēram, \(a = 1{,}5\); \(b = 3\); \(c = 6\). Tādā gadījumā \(a + b = 4{,}5\); \(a + c = 7{,}5\); \(b + c = 9\); \(ab = 4{,}5\); \(bc = 18\); \(ac = 9\) un ir iegūtas 4 dažādas vērtības. *Piezīme.* Derīgus skaitļus var atrast, apskatot gadījumu, kad divām summām ir jāsakrīt ar diviem reizinājumiem. Piemēram, \(a + b = ab\) un \(b + c = ac\). Tādā gadījumā:

\[ a + b = ab \; | : b \neq 0 \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} + 1 = a \quad \Rightarrow \quad \frac{a}{b} = a - 1 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{a}{a - 1}. \]

Lai vienādība izpildītos, tad \(a \neq 1\). Varam izvēlēties, piemēram, \(a = 1{,}5\). Tad \(b = 3\), bet \(c\) iegūst no \(b + c = ac\).