Atrisinājums

Māris vienmēr var uzvarēt, ja \(n=3 k+2\), kur \(k \in \mathbb{N}\), bet Kims vienmēr var uzvarēt visām atlikušajām \(n\) vērtībām. Apskatām mazākās \(n\) vērtības. Ja \(n=3\), tad uzvar Kims, jo viņš var veikt vienu gājienu, bet Māris gājienu nevar veikt.

Ja \(n=4\), tad uzvar Kims, jo viņš var veikt vienu gājienu, bet Māris gājienu nevar veikt.

Ja \(n=5\), tad uzvar Māris, jo Kims var veikt pirmo gājienu un Māris veic otro gājienu, pēc kura Kims vairāk nevar veikt gājienu.

Pamatosim, ka Māris vienmēr var uzvarēt, ja \(n=5;8;11;14;\ldots\) jeb \(n = 3k+2\), kur \(k \in \mathbb{N}\). Ievērojam, ka katrā savā gājienā Māris var panākt, ka taisnstūra garums samazinās par \(3\) rūtiṇām (iegūst gadījumu \(n=3 k+2-3=\) \(=3 k-1\) utt.) - ja Kims savā gājienā kauliṇu pārvieto par vienu (divām) rūtiṇu, tad attiecīgi Māris savā gājienā kauliṇu pārvieto par divām (vienu) rūtiṇu. Šādi rīkojoties, kādā brīdī būs situācija, kad \(n=5\), un Māris uzvar. Pamatosim, ka Kims vienmēr var uzvarēt atlikušajām \(n\) vērtībām:

• ja \(n=3 ; 6 ; 9 ; \ldots\) jeb \(n=3 k\), tad savā pirmajā gājienā Kims kauliṇu pārvieto par 1 rūtiṇu un paliek taisnstūris ar garumu \(3k-1\), un gājiens ir Mārim. Pēc katra Māra gājiena Kims panāk situāciju, ka taisnstūra garums šo divu gājienu samazinās par 3 rūtiṇām (Kims rīkojas pēc tādas pašas stratēǵijas kā Māris). Šādi rīkojoties, kādā brīdī būs situācija, kad \(n=5\) un Mārim jāveic gājiens (un tā ir zaudējoša pozīcija), un Kims uzvar.
• ja \(n=4 ; 7 ; 10 ; \ldots\) jeb \(n=3k+1\), tad savā pirmajā gājienā Kims kauliṇu pārvieto par 2 rūtiṇām un paliek taisnstūris ar garumu \(3k-1\), un gājiens ir Mārim, rīkojoties tāpat kā iepriekš, Kims uzvar.