LV.NOL.2024.9.4 lv
Taisnstūrī ar izmēriem \(4 \times 6\) rūtinas sākotnēji katrā rūtịnā atradās tieši viens kaķis. Vienā brīdī katrs kaķis pārlēca uz kādu no blakus rūtiṇām (katrs kaķis pārlēca tieši vienu reizi). Vai var gadīties, ka tagad visi kaķi atrodas tieši: (A) \(8\) rūtiņās; (B) \(7\) rūtiṇās?
Piezīme. Divas rūtiņas sauc par blakus rūtiņām, ja tām ir kopīga mala.
Atrisinājums
(A) Jā, var, piemēram, skat. 3. att., kur visi kaķi atrodas pelēkajās rūtiṇās (katrs kaķis no baltās rūtiṇas varēja pārlēkt uz kādu pelēko rūtịnu, un kaķi, kas sākumā atradās kādā no pelēkajām rūtiṇām, pārlēca uz blakus esošo pelēko rūtiņu).
Piezīme. Der arī piemērs, kur kaķi pārlec uz otrās un piektās kolonnas rūtiṇām.
(B) Nē, nevar. Pierādīsim, ka kaķi tagad atrodas vismaz \(8\) rūtiṇās.
Aplūkojam tos \(8\) kaķus, kas sākumā atradās 3. att. iekrāsotajās rūtiṇās, un ievērosim, ka nekādi divi no tiem pēc pārlēkšanas nevar atrasties vienā un tajā pašā rūtiņā. Lai divi kaķi no pelēkajām rūtiṇām varētu nonākt vienā un tajā pašā rūtiņā, būtu jābūt tādai rūtiṇai, kurai divas blakus rūtiṇas ir pelēkā krāsā, bet tādas rūtiṇas nav. Tātad pēc pārlēkšanas kaķi atradīsies vismaz \(8\) rūtiņās.