Pierādīt: ja \(a, b, c\) ir naturāli skaitli un \(a+\operatorname{LKD}(a, b)=b+\operatorname{LKD}(b, c)=c+\operatorname{LKD}(c, a)\), tad \(a=b=c\).
Piezîme. \(\operatorname{Ar} \operatorname{LKD}(a, b)\) ir apzīmēts skaitlu \(a\) un \(b\) lielākais kopīgais dalītājs.
Pien̦msim, ka visi trīs skaiț̣i \(a, b, c\) dalās ar kādu naturālu skaitli \(y\). Tādā gadījumā varam ievērot, ka arī skaitli \(a_{1}=\frac{a}{y}, b_{1}=\frac{b}{y}\) un \(c_{1}=\frac{c}{y}\) ir doto vienādojumu atrisinājums (tas izriet no tā, \(\operatorname{ka} \operatorname{LKD}\left(\frac{a}{y}, \frac{b}{y}\right)=\frac{\operatorname{LKD}(a, b)}{y}\) ). Par \(y\) var izvēlēties visu trīs doto skaiț̣u lielāko kopīgo dalītāju un tālāk aplūkot skaitlus \(a_{1}, b_{1}\) un \(c_{1}\), kam izpildās uzdevuma nosacījumi un kuru lielākais kopīgais dalītājs ir 1.
Līdzīgi kā 1. atrisinājumā varam iegūt, ka, ja \(\operatorname{LKD}\left(a_{1}, b_{1}\right)=x\), tad arī \(c_{1}\) dalās ar \(x\). Bet tā kā visu skaitlu lielākais kopīgais dalītājs ir 1 , tad secinām, \(\operatorname{ka} \operatorname{LKD}\left(a_{1}, b_{1}\right)=1\).
Līdzīgi iegūstam, \(\operatorname{kaKD}\left(b_{1}, c_{1}\right)=1\) un \(\operatorname{LKD}\left(c_{1}, a_{1}\right)=1\). Tātad \(a_{1}+1=b_{1}+1=c_{1}+1\) jeb \(a_{1}=b_{1}=c_{1}=1\).