a) Pierādīt, ka katram pirmskaitlim \(p>3\) eksistē tāds naturāls skaitlis \(n\), ka \(p^{2}=24n+1\).
b) Atrast tādu saliktu skaitli \(k\), kuram eksistē tāds naturāls skaitlis \(m\), ka izpildās \(k^{2}=24m+1\).
a) Vienādību \(p^{2}=24n+1\) pārveidojam formā \(n=\frac{p^{2}-1}{24}\). Pierādīsim, ka katram pirmskaitlim \(p\), kas lielāks nekā \(3\), skaitlis \(\left(p^{2}-1\right)\) dalās ar \(24\) , tādā gadījumā \(n\) vienmēr būs naturāls skaitlis.
Tā kā \(24=3 \cdot 8\) un abi šie skaitļi ir savstarpēji pirmskaitļ, tad jāpierāda, ka \(p^{2}-1=(p-1)(p+1)\) dalās ar \(3\) un \(8\).
No trīs pēc kārtas sekojošiem naturāliem skaitļiem \(p-1; p; p+1\) viens noteikti dalās ar \(3\). Tā kā \(p\) ir pirmskaitlis un \(p>3\), tad \(p\) ar \(3\) nedalās. Līdz ar to ar \(3\) dalās vai nu \((p-1)\), vai \((p+1)\). Tas nozīmē, ka \(\left(p^{2}-1\right)\) dalās ar \(3\).
Tā kā gan \((p-1)\), gan \((p+1)\) ir pāra skaitļi, tad tie abi dalās ar \(2\), pie tam viens no tiem dalās ar \(4\) (katrs otrais pāra skaitlis dalās ar \(4\)). Tas nozīmē, ka reizinājums \((p-1)(p+1)\) dalās ar \(8\).
Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(\left(p^{2}-1\right)\) dalās gan ar \(3\), gan ar \(8\) , tas nozīmē, ka tā dalās arī ar \(24\).
b) Der, piemēram, \(k=25\), jo \(25^{2}=24 \cdot 26+1\).
\(Piezīme.\) b) gadījumā, lai atrastu skaitli \(k\), var izmantot a) gadījumā izmantotos spriedumus, tas ir, meklēt \(k\) kā saliktu nepāra skaitli, kas nedalās ar \(3\).