LV.NOL.2021.8.3 lv
Trijstūrī \(ABC\) novilkta bisektrise \(AE\). Uz taisnes \(AE\) atlikts punkts \(D\), tā ka \(AD=AB+AC\) un punkts \(E\) atrodas starp punktiem \(A\) un \(D\). Pierādīt, ka \(\triangle BCD\) ir vienādmalu trijstūris, ja zināms, ka \(\Varangle BAC=120^{\circ}\).
Atrisinājums
Pierādīsim, ka \(BC=BD\).
Atliekam uz taisnes \(AD\) tādu punktu \(G\), ka \(AG=AB\) un \(GD=AC\) (skat. 11. att.). Aplūkojam trijstūri \(GAB\). Tas ir vienādmalu trijstūris, jo pēc konstrukcijas \(AG=AB\) un pēc bisektrises definīcijas \(\Varangle GAB=60^{\circ}\). Tātad \(GB=AB\) un \(\Varangle AGB=60^{\circ}\).
Ievērojam, ka \(\triangle CAB=\triangle DGB\) pēc pazīmes \(m \ell m\):
- \(DG=CA\) pēc konstrukcijas,
- \(\Varangle DGB=180^{\circ}-\Varangle AGB=120=\Varangle CAB\),
- \(GB=AB\) pēc iepriekš pierādītā.
Tā kā vienādos trijstūros attiecīgie lielumi ir vienādi, tad \(BD=BC\). Līdzīgi, atliekot uz \(AD\) tādu punktu \(M\), ka \(AM=AC\) un \(MD=AB\), pierāda, ka \(BC=CD\).
Līdz ar to esam pierādījuši, ka \(BC=BD=CD\). Tātad trijstūris \(BCD\) ir vienādmalu.
