Taisnstūrveida rūtiņu tabulā ar \(n\) rindām un \(m\) kolonnām (\(n>1\), \(m>1\)) katrā rūtiņā ierakstīts atšķirīgs naturāls skaitlis. Sākumā rūtinās ierakstītie skaitļi pa rindām bija sakārtoti augošā secībā (katrā rindā visi skaitļi no katras rūtiņas pa labi ir lielāki, bet pa kreisi - mazāki nekā tajā esošais skaitlis). Pēc tam visas kolonnas sakārtoja augošā secībā (katrā kolonnā visi skaitli virs katras rūtinas ir mazāki, bet zem - lielāki nekā tajā esošais skaitlis). Pierādīt, ka pēc pārkārtošanas tabulā ierakstītie skaitlii pa rindām joprojām ir sakārtoti augošā secībā.
Pieņemsim pretējo, ka kāda rinda vairs nav sakārtota augošā secībā. Aplūkosim pirmo nesakārtoto rindu, tās kārtas numuru apzīmēsim ar \(i\). Tas nozīmē, ka visas rindas no pirmās līdz \((i-1)\)-ajai ir sakārtotas, bet \(i\)-ā rinda nav sakārtota.
Tātad šajā rindā ir divi tādi elementi \(x_{i}\) un \(y_{i}\), ka \(x_{i}\) atrodas pa kreisi no \(y_{i}\), bet \(x_{i}>y_{i}\). Aplūkosim kolonnas \(X\) un \(Y\), kurās atrodas attiecīgi \(x_{i}\) un \(y_{i}\), apzīmēsim to elementus attiecīgi ar \(x_{k}\) un \(y_{k}(1 \leq k \leq n)\).
Tā kā visas iepriekšējās rindas ir sakārtotas, tad \(x_{1}<y_{1}, x_{2}<y_{2}, \ldots, x_{i-1}<y_{i-1}\) (bet \(x_{i}>y_{i}\)). Tā kā kolonnas ir sakārtotas, tad tas nozīmē, ka kolonnā \(X\) ir tieši \((i-1)\) skaitlis \(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{i-1}\right)\), kas ir mazāks nekā \(y_{i}\). Bet katrs no \(i\) skaitliem \(y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{i}\) sākumā atradās vienā rindā ar kādu skaitli no kolonnas \(X\), kas par to ir mazāks, tātad tādiem skaitļiem jābūt vismaz skaitā \(i\) - pretruna.
Līdz ar to esam pierādījuši, ka arī pēc pārkārtošanas skaitļi pa rindām ir sakārtoti augošā secībā.