Doti naturāli skaitļj \(a\) un \(b\), kas lielāki nekā 1. Zināms, ka gan \(a^{2}+b\), gan \(b^{2}+a\) ir pirmskaitli. Pierādīt, ka \(a+b\) un \(a b+1\) ir savstarpēji pirmskaitļi.
Tā kā \(a^{2}+b\) ir pirmskaitlis, tad tas ir nepāra skaitlis (jo \(a, b>1\)), līdz ar to skaitliem \(a\) un \(b\) ir pretēja paritāte. Pienemsim pretējo, ka \(a+b\) un \(a b+1\) abi dalās ar kādu pirmskaitli \(p\). Tā kā \(a+b\) (un arī \(a b+1\) ) ir nepāra skaitlis, tad \(p\) ir nepāra pirmskaitlis ( \(p \geq 3\) ). Tā kā abi skaittli dalās ar \(p\), tad arī to summa un starpība dalās ar \(p\):
Pieņemsim, ka \(a+1\) dalās ar \(p\) (otrs gadīums, kad \(b+1\) dalās ar \(p\), ir analoǵisks). Tad \(a-1\) nedalās ar \(p\), jo, ja dalītos, tad \((a+1)-(a-1)=2\) arī dalītos ar \(p\). Tātad \(b-1\) dalās ar \(p\). Bet tādā gadījumā
\[b^{2}+a=(b-1)(b+1)+(a+1)=p \cdot\left((b+1) \frac{b-1}{p}+\frac{a+1}{p}\right)\]
nav pirmskaitlis - pretruna.