Atrisinājums

(A) Jā, ir iespējams. Apzīmējam dalībniekus ar \(d_{1}, d_{2}, \ldots, d_{15}\), tad iespējams, ka dalībnieks \(d_{1}\) ir ieguvis \(3.\) punktus, \(d_{2}-4\) punktus, \(\ldots\), \(d_{15}\) ir ieguvis \(10.5\) punktus. Tas iespējams, ja viņi ir spēlējuši, piemēram, šādi (skat. tabulu). Partijas, kurās spēlē dalībnieki ar dažādas paritātes numuriem, ir beigušās neizšķirti, bet partijās, kurās spēē dalībnieki ar vienādas paritātes numuriem, ir uzvarējis dalībnieks ar lielāko numuru. Redzams, ka katrs dalībnieks vismaz pusi partiju ir spēlējis neizšķirti, tātad tā uzvaru skaits nepārsniedz neizšķirtu skaitu.

(B) Nē, nav iespējams. Apzīmēsim dalībnieku iegūto punktu skaitu augošā secībā ar \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{16}\). levērojam, ka \(a_{16} \leq 11\) ( 7 uzvaras un 8 neizškirti), jo pretējā gadīumā šī dalībnieka uzvaru skaits pārsniegtu neizškirtu skaitu. Attiecīgi \(a_{15} \leq 10,5 ; a_{14} \leq 10 ; \ldots ; a_{1} \leq 3,5\). Tātad visu dalībnieku kopējais iegūtais punktu skaits nepārsniedz \(11+10,5+10+9,5+\ldots+3,5=116\).

Bet kopā turnīrā tika izspēlētas \(\frac{16 \cdot 15}{2}=120\) partijas un katrā partijā izcīnīts viens punkts, tātad kopējam punktu skaitam jābūt tieši \(120\), iegūta pretruna.