Doti \(500\) dažādi naturāli skaitļi, tie sadalīti pa pāriem tā, ka katrā pārī skaitļu summa ir lielāka nekā \(2000\). Pierādīt, ka, ja šos 500 dotos skait|us uzrakstītu rindā augošā secībā, tad 146. un 376. skaitļu summa būtu lielāka nekā \(2021\).
Apzīmējam visus skait|us augošā secībā ar \(a_{1} ; a_{2} ; \ldots ; a_{500}\). Vispirms pierādīsim, ka \(a_{125}+a_{376}>2000\). Pieņemsim pretējo, ka \(a_{125}+a_{376} \leq 2000\). Tas nozīmē, ka katrs no \(125\) skaitļiem \(a_{1} ; a_{2} ; \ldots ; a_{125}\) sākumā varēja būt pārī tikai ar kādu no skaitļiem, kas ir lielāks nekā \(a_{376}\). Bet tādu skaitļu ir tikai 124 (\(a_{377};a_{378};\ldots; a_{500}\)) - pretruna.
Tā kā visi dotie skaitļi ir dažādi un naturāli, tad
\[a_{146} \geq a_{145}+1 \geq a_{144}+2 \geq a_{143}+3 \geq \ldots \geq a_{125}+21\]
Tātad \(a_{146}+a_{376} \geq a_{125}+a_{376}+21>2000+21=2021\).