LV.NOL.2020.9.5 lv
Dota \(N \times N\) rūtiņu tabula, kurā visas diagonāles ir sanumurētas pēc kārtas ar skaitļiem no \(1\) līdz \(2N-1\). Visās rūtiņās, kas pieder vienai diagonālei, ierakstīts šīs diagonāles numurs (piemēram, 26.att. parādīts tabulas aizpildījums, ja \(N=5\)). Pierādīt, ka visām naturālām \(N\) vērtībām visu tabulā ierakstīto skaitļu summa ir kāda naturāla skaitļa kubs!
Atrisinājums
Ievērojam, ka vismazākā ir pirmajā rindā ierakstīto skaitļu summa, bet katrā nākamajā tā ir par \(N\) lielāka nekā iepriekšējā rindā. Ja pirmās rindas skaitļu summa ir \(s=1+2+\cdots+N\), tad otrās rindas skaitļu summa ir \((s+N)\), trešās rindas skaitļu summa ir \((s+2 N), \ldots\), pēdējās rindas skaitļu summa ir \((s+(N-1)N)\). Tātad visu tabulā ierakstīto skaitļu summa ir
\[\begin{aligned} Ns & +N(1+2+\cdots+(N-1))=N(1+2+\cdots+N)+N \cdot \frac{N \cdot(N-1)}{2}= \\ & =N \cdot \frac{N \cdot(N+1)}{2}+N \cdot \frac{N \cdot(N-1)}{2}=\frac{N}{2}\left(N^{2}-N+N^{2}+N\right)=N^{3} \end{aligned}\]