LV.NOL.2020.9.4 lv
Uz katras no \(2N\) kartītēm uzrakstīts viens naturāls skaitlis no \(1\) līdz \(N\), katrs skaitlis uzrakstīts uz tieši divām kartītēm. Kartītes jāsaliek rindā vienu aiz otras tā, lai starp kartītēm, uz kurām uzrakstīts skaitlis \(k\), atrastos tieši \(k\) citas kartītes. Vai kartītes var salikt prasītajā veidā, ja a) \(N=4\), b) \(N=5\)?
Atrisinājums
a) Jā, kartītes var salikt, piemēram, skat. 24.att.
b) Pieņemsim, ka ir izdevies salikt kartītes rindā tā, kā prasīts. Sanumurēsim tās pēc kārtas ar naturāliem skaitļiem no \(1\) līdz \(10\) (skat. 25.att.).
Parādīsim, ka ir pāra skaits kartīšu, kas atrodas vietās ar pāra numuriem. No divām kartītēm, uz kurām uzrakstīts skaitlis \(2\), viena atrodas vietā ar pāra numuru, otra - vietā ar nepāra numuru. Tas ir spēkā arī kartītēm, uz kurām rakstīts \(4\). Tātad no šīm četrām kartītēm divas atrodas vietās ar pāra numuru, bet otras divas - vietās ar nepāra numuru. Abas kartītes, uz kurām ir rakstīts viens un tas pats nepāra skaitlis (\(1,\ 3\) vai \(5\)), atrodas vietās, kuru numuriem ir vienāda paritāte (tas ir, abi ir pāra vai abi nepāra), tātad tās izmaina pāra vietās esošo kartīšu skaitu par pāra skaitli (\(0\) vai \(2\)). Redzam, ka kopā vietās ar pāra numuriem atrodas pāra skaits kartīšu (tāpat arī vietās ar nepāra numuriem).
Bet pavisam ir \(5\) vietas ar pāra numuriem un \(5\) vietas ar nepāra numuriem, iegūta pretruna, tātad prasīto izdarīt nevar.