Zināms, ka naturāli skaitļi \(x\) un \(y\) ir tādi, ka \(x^{2}+y^{2}+1\) dalās ar \(13\). Pierādīt: a) \(x^{2}-y^{2}\) nedalās ar \(13\), b) tieši viens no skaitļiem \(x^{4}, y^{4}, x^{4}+y^{4}+1\) dalās ar \(13\).
Apskatām, kādi atlikumi rodas, ja naturāla skaitļa kvadrātu dala ar \(13\).
| \(n(\bmod 13)\) | \(n^{2}(\bmod 13)\) |
|---|---|
| \(0\) | \(0\) |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(4\) |
| \(3\) | \(9\) |
| \(4\) | \(3\) |
| \(5\) | \(12\) |
| \(6\) | \(10\) |
| \(7\) | \(10\) |
| \(8\) | \(12\) |
| \(9\) | \(3\) |
| \(10\) | \(9\) |
| \(11\) | \(4\) |
| \(12\) | \(1\) |
Tā kā pēc dotā \(x^{2}+y^{2}+1\) dalās ar \(13\), tad secinām, ka \(x^{2}+y^{2}=12(\bmod 13)\). Ievērojam, ka ir tikai divi skaitļa kvadrātu atlikumu pāri, kas summā dod \(12\), tie ir \((0; 12)\) vai \((3; 9)\).
a) Apskatot abus gadīumus, redzams, ka nevienā no tiem \(x^{2}-y^{2}\) nedalās ar \(13\).
b) Apskatām abus gadījumus.
Ja atlikumu pāris ir \((0; 12)\), tad tieši viens (tas skaitlis, kurš dod atlikumu \(0\)) no skaitļiem \(x^{4}\) vai \(y^{4}\) dalās ar \(13\), bet otrs nedalās, un \(x^{4}+y^{4}+1 \equiv 0+12^{2}+1 \equiv(-1)^{2}+1 \equiv 2(\bmod 13)\), tātad šajā gadījumā tieši viens no skaitļiem \(x^{4},\ y^{4},\ x^{4}+y^{4}+1\) dalās ar \(13\).
Ja atlikumu pāris ir \((3; 9)\), tad \(x^{4} \equiv 3^{2} \equiv 9(\bmod 13)\) un \(y^{4} \equiv 9^{2} \equiv 81 \equiv 3(\bmod 13)\), bet tādā gadījumā \(x^{4}+y^{4}+1 \equiv 3+9+1 \equiv 0(\bmod 13)\), līdz ar to tieši viens no skaitļiem \(x^{4}, y^{4}, x^{4}+y^{4}+1\) dalās ar \(13\).