Atrisinājums

Aplūkojam kādas divas rūtiņas, kas ir simetriskas attiecībā pret galveno diagonāli, kas iet caur visām rūtiņām, uz kurām rakstīts skaitlis \(2N-1\). Ja viena no tām atrodas uz diagonāles, kura ir \(k\) diagonāles "pirms" galvenās diagonāles, tad otra atrodas uz diagonāles, kura ir \(k\) diagonāles "aiz" galvenās diagonāles, tas nozīmē, ka tajās ir ierakstīti attiecīgi skaitļi \((2N-1-2k)\) un \((2N-1+2k)\) un to summa ir \(4N-2\). Tas nozīmē, ja abus šajās rūtiņās esošos skaitļus \((2N-1-2k)\) un \((2N-1+2k)\) aizstāj ar \(2N-1\), tad to summa nemainās. Tā izdarot ar visiem simetriskajiem rūtiņu pāriem, iegūstam kvadrātu, kurā visās \(N \cdot N=N^{2}\) rūtiņās ierakstīts skaitlis \(2N-1\), tātad visu kvadrātā ierakstīto skaitļu summa ir \(N^{2} \cdot(2N-1)\). Ja \(2N-1\) ir kāda naturāla nepāra skaitļa \(k\) kvadrāts (tas ir, \(2N-1=k^{2}\) jeb \(N=\frac{k^{2}+1}{2}\), kur \(k-\) jebkurš naturāls nepāra skaitlis), tad tabulā ierakstīto skaitļu summa ir naturāla skaitļa \(\frac{k\left(k^{2}+1\right)}{2}\) kvadrāts. Tā kā naturālu nepāra skaitļu ir bezgalīgi daudz, tad arī derīgu \(N\) vērtību ir bezgalīgi daudz.