LV.NOL.2019.10.3 lv
Plaknē dotas divas riņķa līnijas \(\omega_{1}\) un \(\omega_{2}\), kurām nav kopīgu punktu un kuru rādiusi nav vienāda garuma. Novilktas trīs pieskares \(t_{1}, t_{2}\) un \(t_{3}\), kas katra pieskaras abām riņķa līnijām - abas riņķa līnijas atrodas vienā un tajā pašā \(t_{1}\) pusē, vienā un tajā pašā \(t_{2}\) pusē, bet katra savā \(t_{3}\) pusē (skat. 28.att.). Taisne \(t_{1}\) pieskaras \(\omega_{1}\) punktā \(A\) un krusto \(t_{3}\) punktā \(C\), taisne \(t_{2}\) pieskaras \(\omega_{2}\) punktā \(B\) un krusto \(t_{3}\) punktā \(D\). Pierādīt, ka \(AC=BD\).
Atrisinājums
Ar \(E, F, G\) un \(H\) apzīmējam pārējos pieskaršanās punktus (skat. 29.att.). Tā kā pieskaru, kas vilktas no viena punkta, nogriežņi ir vienādi, tad iegūstam vienādības: \(AC=CE,\ CH=CG,\ DH=DB,\ DE=DF\). Tātad
- \(FB=FD+DB=DE+DB=(EH+HD)+DB=EH+2DB\) jeb \(BD=\frac{1}{2}(FB-EH)\)
- \(AG=AC+CG=AC+CH=AC+(CE+EH)=2AC+EH\) jeb \(AC=\frac{1}{2}(AG-EH)\)
Ar \(X\) apzīmējam pieskaru \(t_{1}\) un \(t_{2}\) krustpunktu, tad \(XG=XB\) un \(XA=XF\). Līdz ar to \(AG=FB\), no kā izriet, ka \(AC=BD\).
