Dots, ka piecciparu skaitlis \(\overline{acbba}\) dalās ar \(11\) un \(a>b>c\). Pierādīt, ka var atrast trīs citus piecciparu skaitļus, kas dalās ar \(11\), ir lielāki nekā \(\overline{acbba}\) un veidoti, samainot vietām sākotnējā skaitļa ciparus!
Pārrakstām doto skaitli formā
\[\begin{gathered} \overline{acbba}=10000a+1000c+100b+10b+a=9999a+2a+1001c-c+110b \\ \overline{acbba}=11 \cdot 99a+11 \cdot 91c+11 \cdot 10b+2a-c \end{gathered}\]
Tā kā pēdējās vienādības kreisā puse dalās ar \(11\), tad arī vienādības labajai pusei ir jādalās ar \(11\). Labās puses pirmie trīs saskaitāmie dalās ar \(11\), tātad arī \((2a-c)\) dalās ar \(11\). Aplūkojam skaitļus \(\overline{acabb}, \overline{abbca}\) un \(\overline{abacb}\). Tie visi ir lielāki nekā dotais skaitlis (jo \(a>b>c\)) un tie dalās ar \(11\), jo skaitli - \(\overline{acabb}\) var izteikt formā\[\begin{gathered} \overline{acabb}=10100a+1000c+11b=10098a+1001c+11b+2a-c= \\ =11 \cdot 918a+11 \cdot 91c+11b+(2a-c) \end{gathered}\]
kur katrs saskaitāmais dalās ar \(11\); - \(\overline{abbca}\) var izteikt formā\[\begin{gathered} \overline{abbca}=10001a+1100b+10c=9999a+1100b+11c+2a-c= \\ =11 \cdot 909a+11 \cdot 100b+11c+(2a-c) \end{gathered}\]
kur katrs saskaitāmais dalās ar \(11\); - \(\overline{abacb}\) var izteikt formā\[\begin{gathered} \overline{abacb}=10100a+1001b+10c=10098a+1001b+11c+2a-c= \\ =11 \cdot 918a+11 \cdot 91b+11c+(2a-c) \end{gathered}\]
kur katrs saskaitāmais dalās ar \(11\).