Pierādīt, ka \(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}+d^{2}a^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2} \geq 10abcd\) visiem reāliem skaitļiem \(a, b, c, d\).
Izmantojot nevienādību starp vidējo aritmētisko un vidējo ģeometrisko, novērtējam dotās nevienādības kreiso pusi:
\[\begin{aligned} & a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}d^{2}+d^{2}a^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2} \geq \\ & \geq 10 \cdot \sqrt[10]{a^{4} \cdot b^{4} \cdot c^{4} \cdot d^{4} \cdot a^{2}b^{2} \cdot b^{2}c^{2} \cdot c^{2}d^{2} \cdot d^{2}a^{2} \cdot a^{2}c^{2} \cdot b^{2}d^{2}}= \\ & \quad=10 \cdot \sqrt[10]{a^{10} \cdot b^{10} \cdot c^{10} \cdot d^{10}}=10 \cdot|abcd| \geq 10abcd \end{aligned}\]