(A) Pierādīt, ka starp \(1010\) dažādiem naturāliem skaitļiem, no kuriem neviens nepārsniedz \(2017\), vienmēr iespējams izvēlēties trīs skaitļus tā, ka divu izvēlēto skaitļu summa ir vienāda ar trešo skaitli!
(B) Vai šāda īpašība ir spēkā arī \(1009\) dažādiem naturāliem skaitļiem, kas nepārsniedz \(2017\)?
(A) Lielāko starp izvēlētajiem skaitļiem apzīmējam ar \(x\) un pierādīsim, ka var atrast divus citus skaitļus, kuru summa ir \(x\).
Visus skaitļus, kas mazāki nekā \(x\), sadalām pāros tā, ka vienā pārī esošo skaitļu summa ir \(x\) :
1) ja \(x\) ir nepāra skaitlis jeb \(x=2n+1\), tad tie sadalās \(n\) pāros
\[(1; 2n),(2; 2n-1), \ldots,(n; n+1)\]
2) ja \(x\) ir pāra skaitlis jeb \(x=2n\), tad tie sadalās \(n-1\) pāros\[(1; 2n-1),(2; 2n-2), \ldots,(n-1; n+1)\]
skaitlim \(n\) pāra nav, to atstāsim vienu pašu. Tā kā \(x \leq 2017\), tad abos gadījumos \(n \leq 1008\). Tā kā ir izvēlēti \(1009\) skaitļi, kas mazāki nekā \(x\), tad pēc Dirihlē principa vismaz divi no tiem būs no viena pāra, kas summā dod \(x\), tie arī būs trīs meklētie skaitļi. **(B)** Savukārt \(1009\) dažādiem skaitļiem, kas nepārsniedz \(2017\), minētā īpašība nav spēkā. Ja izvēlamies visus nepāra skaitļus no \(1\) līdz \(2017\), tad izvēlēti ir \(1009\) skaitļi, no kuriem nekādi divi summā nedod citu skaitli no šī komplekta, jo divu nepāra skaiļu summa vienmēr ir pāra skaitlis. *Piezīme.* Alternatīvi varam izvēlēties \(1009\) lielākos skaitļus (no \(1009\) līdz \(2017\)), tad jebkuru divu šādu skaitļu summa būs lielāka nekā divu mazāko skaitļu summa, tas ir, \(1009+1010=2019\), kas jau ir lielāka nekā vislielākais skaitlis \(2017\).