Jebkuriem diviem pozitīviem skaitļiem \(x\) un \(y\) piekārtots trešais skaitlis \(x^{\lg y}\), ko apzīmēsim ar \(x * y\). Pierādīt, ka pozitīviem skaitļiem \(x, y\) un \(z\) izpildās \((x * y) * z=x * (y * z)\).
Pierādāmā vienādība \((x * y) * z=x * (y * z)\) ir ekvivalenta vienādībām:
\[x^{\lg y} * z=x * y^{\lg z}\]
\[\begin{gathered} \left(x^{\lg y}\right)^{\lg z}=x^{\lg \left(y^{\lg z}\right)} \\ x^{\lg y \cdot \lg z}=x^{\lg z \cdot \lg y} \end{gathered}\]
Pēdējā vienādība ir patiesa, tātad pozitīviem skaitļiem \(x, y\) un \(z\) izpildās \((x * y) * z=x * (y * z)\).