LV.NOL.2017.10.1 lv
Punkti \(A\) un \(B\) ir \(16 ~\mathrm{km}\) attālumā viens no otra, bet \(B\) un \(C-12 ~\mathrm{km}\) attālumā. Šoseja \(A-B-C\) punktā \(B\) izveido taisnu leņķi (skat. 26.att.). Ceļinieka ātrums pa šoseju ir \(v ~\mathrm{km/h}\), bet pa lauku ceļu ātrums ir \(c ~\mathrm{km/h}\). Ja ceļinieks dodas no \(A\) uz \(C\) pa šoseju (maršruts \(A \rightarrow B \rightarrow C\) ), tad viņš nonāk galapunktā par \(20 ~\mathrm{min}\) ātrāk nekā ejot no \(A\) uz \(C\) pa lauku ceļu (maršruts \(A \rightarrow C\) ). Ja turpretī viņš iet \(11 ~\mathrm{km}\) pa šoseju no \(A\) uz \(D\) un pēc tam uz \(C\) pa lauku ceļu (maršruts \(A \rightarrow D \rightarrow C\) ), tad viņš ceļā pavada \(5\) stundas un \(5\) minūtes. Aprēķināt \(v\) un \(c\)!
Atrisinājums
Izmantojot Pitagora teorēmu trijstūrī \(ABC\), iegūstam \(AC=20 \mathrm{~km}\) (skat. 27.att.). Tā kā \(BD=AB-AD=16-11=5 \mathrm{~km}\), tad, lietojot Pitagora teorēmu trijstūrī \(DBC\), iegūstam, ka \(CD=13 \mathrm{~km}\).
No uzdevuma nosacījumiem iegūstam vienādojumu sistēmu:
\[\left\{\begin{array}{l} \frac{20}{c}-\frac{28}{v}=\frac{1}{3} \\ \frac{13}{c}+\frac{11}{v}=\frac{61}{12} \end{array}\right.\]
Reizinot sistēmas pirmo vienādojumu ar \(11\) un otro ar \(28\), iegūstam\[\left\{\begin{array}{l} \frac{220}{c}-\frac{308}{v}=\frac{11}{3} \\ \frac{364}{c}+\frac{308}{v}=\frac{427}{3} \end{array}\right.\]
Saskaitot abus vienādojumus, iegūstam \(\frac{584}{c}=\frac{438}{3}\) jeb \(c=4\). levietojot iegūto \(c\) vērtību pirmajā vienādojumā, aprēķinām otru nezināmo: \(5-\frac{28}{v}=\frac{1}{3}\) jeb \(v=6\). Tātad ceļinieka ātrums pa šoseju \(v=6 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\), bet pa lauku viņa ātrums ir \(c=4 \mathrm{~km} / \mathrm{h}\).