Smaragda pilsētā naudas vienība ir centi. Tur ir \(21 \%\) PVN (pievienotās vērtības nodokļa) likme. Tas nozīmē, ka ikvienas pārdodamās preces cenu iegūst, pareizinot kādu veselu skaitu centu (cenu bez PVN) ar skaitli \(1,21\) un reizinājumu noapaļojot līdz tuvākajam veselajam centu skaitam. Cenu sauc par neiespējamu, ja to nevar iegūt minētajā veidā. Cik pavisam ir neiespējamu cenu no \(1\) līdz \(1000\) centiem ieskaitot?
Piemēram, \(3\) centi ir neiespējama cena, jo \(2 \cdot 1,21=2,42\), pēc noapaļošanas \(2\) centi, savukārt, \(3 \cdot 1,21=3,63\), pēc noapaļošanas \(4\) centi. Tā kā nekāda cita vesela skaitļa starp \(2\) un \(3\) nav, tad cenu, kas ir tieši \(3\) centi nevar iegūt pēc PVN pievienošanas.
Vispirms pamatosim, ja sākumā preču cenas bija dažādas, tad pēc PVN pievienošanas un noapaļošanas tās arī būs dažādas. Ievērojam, ka, noapaļojot skaitļus no intervāla \([a-0,5; a+0,5)\), iegūstam \(a\). Tā kā šī intervāla garums ir \(1\), tad secinām, ja starpība starp diviem skaitļiem ir lielāka nekā \(1\), tad, tos noapaļojot, iegūst dažādus skaitļus. Ņemam divas blakus esošas cenas \(a\) un \(a+1\) pirms PVN pievienošanas un reizinām tās ar \(1,21\). Iegūto skaitļu starpība \(1,21(a+1)\) - \(1,21a=1,21\) ir lielāka nekā \(1\), tātad pēc noapaļošanas iegūtie skaitļi ir dažādi.
Ievērojam, ka \(826 \cdot 1,21=999,46 \approx 999\), bet \(827 \cdot 1,21=1000,67 \approx 1001\), tāpēc visi skaitļi, kuri nepārsniedz \(826\), pēc PVN pievienošanas attēlosies par cenām intervālā no \(1\) līdz \(1000\). Tādēļ, pievienojot PVN skaitliem starp \(1\) un \(826\), mēs varam iegūt pavisam \(826\) dažādas cenas intervālā \([1; 1000]\). Visas pārējās cenas būs neiespējamās, tādu pavisam ir \(1000-826=174\).