LV.NOL.2015.12.4 lv
Izliekta četrstūra \(ABCD\) malu \(AB,\ BC,\ CD\) un \(DA\) viduspunkti ir attiecīgi \(E,\ F,\ G\) un \(H\). Nogrieznis \(AF\) krustojas ar \(DE\) un \(BG\) attiecīgi punktos \(K\) un \(L\), bet \(CH\) krustojas ar \(DE\) un \(BG\) attiecīgi punktos \(N\) un \(M\). Pierādīt, ka \(S_{BFL}+S_{CMG}+S_{DNH}+S_{AKE}=S_{KLMN}\) !
Atrisinājums
Novelkam nogriezni \(AC\) un aplūkojam trijstūrus \(ABF,\ AFC,\ ACH\) un \(CDH\) (skat. A10.zīm.). Izmantojot trijstūra laukuma formulu \(S_{\Delta}=\frac{1}{2} a \cdot h_{a}\), iegūstam
- \(S_{ABF}=\frac{1}{2} BF \cdot h_{BC}=\frac{1}{2} FC \cdot h_{BC}=S_{AFC}\);
- \(S_{ACH}=\frac{1}{2} AH \cdot h_{AD}=\frac{1}{2} HD \cdot h_{AD}=S_{CDH}\).
Ievērojam, ka \(S_{ABCD}=S_{ABF}+S_{AFC}+S_{ACH}+S_{CDH}=2 \cdot\left(S_{AFC}+S_{ACH}\right)=2S_{AFCH}\).
Tātad \(S_{AFCH}=\frac{1}{2} S_{ABCD}\).
Analoģiski, novelkot \(BD\), pierāda, ka \(S_{BGDE}=\frac{1}{2} S_{ABCD}\).
Iekrāsotās daļas laukumu (skat. A10.zīm.) apzīmējam ar \(S\). Esam ieguvuši, ka
\[\begin{gathered} S_{ABCD}=S_{AFCH}+S_{BGDE} \\ S_{BFL}+S_{CMG}+S_{DNH}+S_{AKE}+S=S+S_{KLMN} \\ S_{BFL}+S_{CMG}+S_{DNH}+S_{AKE}=S_{KLMN} \end{gathered}\]
kas arī bija jāpierāda.