Atrisinājums

Mazākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(55=6+19+30\).

Pierādīsm, ka mazāku \(n\) vērtību iegūt nevar.

Apzīmējam \(a+b=p^{2},\ a+c=q^{2},\ b+c=r^{2}\). Nezaudējot vispārīgumu, varam pieņemt, ka \(0 < a < b < c\), tad \(p^{2} < q^{2} < r^{2}\).

Izmantojot šīs sakarības un pieņemot, ka zināmas \(p^{2},\ q^{2},\ r^{2}\) vērtības, varam izteikt \(a,\ b,\ c\) un \(n\) vērtības:

\[a=\frac{p^{2}+q^{2}-r^{2}}{2},\ b=\frac{p^{2}-q^{2}+r^{2}}{2},\ c=\frac{-p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2},\ n=\frac{p^{2}+q^{2}+r^{2}}{2}<\frac{3r^{2}}{2}\]

Tā kā \(n\) jābūt naturālam skaitlim, tad \(p^{2}+q^{2}+r^{2}\) ir jābūt pāra skaitlim, tātad starp \(p,\ q,\ r\) ir vai nu tieši divi nepāra skaitļi, vai arī neviens nepāra skaitlis. Tā kā \(a\) jābūt naturālam skaitlim, tad \(p^{2}+q^{2} > r^{2}\). Tā kā \(r^{2} < n\), tad jāaplūko tikai tādas skaitļu kvadrātu vērtības, kas mazākas nekā \(55\):

\[1,\ 4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49\]

Mazākā \(r^{2}\) vērtība, kurai var atrast tādas \(p^{2},\ q^{2}\) vērtības, kas apmierina nevienādību \(p^{2}+q^{2}>r^{2}\), ir \(r^{2}=36\) un \(p^{2}=16,\ q^{2}=25\). Šo skaitļu summa ir nepāra skaitlis, tāpēc neapmierina uzdevuma prasības. Nākamā \(r^{2}\) vērtība, kurai var atrast tādas \(p^{2},\ q^{2}\) vērtības, kas apmierina nevienādību \(p^{2}+q^{2}>r^{2}\), ir \(r^{2}=49\). Iespējami divi gadījumi: - \(r^{2}=49,\ p^{2}=16,\ q^{2}=36\) - šo skaitļu summa ir nepāra skaitlis, tāpēc neapmierina uzdevuma prasības; - \(r^{2}=49,\ p^{2}=25,\ q^{2}=36\) - šīs vērtības apmierina uzdevuma nosacījumus un no vienādojumu sistēmas \(\left{\begin{array}{l}a+b=25 \ a+c=36 \ b+c=49\end{array}\right.\) iegūstam, ka \(a=6,\ b=19,\ c=30\). Tātad mazākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(6+19+30=55\).