LV.NOL.2014.12.2 lv
Uz paralelograma \(ABCD\) pretējām malām \(AB\) un \(CD\) atzīmēti attiecīgi punkti \(E\) un \(F\). Nogriežņu \(AF\) un \(DE\) krustpunkts ir \(H\), bet \(BF\) un \(CE\) krustpunkts ir \(G\). Pierādīt, ka \(S_{EGFH}=S_{ADH}+S_{BCG}\).
Atrisinājums
Izsakām trijstūra \(ABF\) (skat. A5.zīm.) laukumu vairākos veidos:
- \(S_{ABF}=S_{ADF}+S_{BCF}\);
- \(S_{ABF}=\frac{1}{2} AB \cdot h_{AB}=\frac{1}{2} S_{ABCD}\);
- \(S_{ABF}=S_{AHE}+S_{BEG}+S_{GEHF}\).
Līdzīgi vairākos veidos izsakām trijstūra \(CDE\) laukumu:
- \(S_{CDE}=\frac{1}{2} CD \cdot h_{CD}=\frac{1}{2} S_{ABCD}\);
- \(S_{CDE}=S_{ADE}+S_{BCE}=S_{ADH}+S_{AHE}+S_{BCG}+S_{BEG}\).
Tā kā \(S_{ABF}=S_{CDE}=\frac{1}{2} S_{ABCD}\), tad
\[\begin{aligned} S_{AHE}+S_{BEG}+S_{GEHF} & =S_{ADH}+S_{AHE}+S_{BCG}+S_{BEG} \\ S_{GEHF} & =S_{ADH}+S_{BCG} \end{aligned}\]
kas arī bija jāpierāda.