Polinoms \(P(x)\), kura visi koeficienti ir veseli skaitļi, piecām veselām \(x\) vērtībām pieņem vērtību \(2000\). Pierādīt, ka nav tādas veselas \(x\) vērtības, pie kuras dotais polinoms pieņem vērtību \(2014\).
Apzīmēsim \(F(x)=P(x)-2000\). Tādā gadījumā \(a,\ b,\ c,\ d,\ e\) ir polinoma \(F(x)\) saknes un \(F(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)R(x)\).
Ja \(P(n)=2014\), tad \(F(n)=14=(n-a)(n-b)(n-c)(n-d)(n-e) R(n)\). Esam ieguvuši, ka skaitlis \(14\) ir uzrakstīts kā vismaz piecu dažādu veselu skaitļu reizinājums. Iegūta pretruna, jo \(14=1 \cdot 2 \cdot 7\) vai \(14=1 \cdot 14\). Tātad nav tādas veselas \(x\) vērtības, pie kuras dotais polinoms pieņem vērtību \(2014\).