Rindā kaut kādā secībā stāv \(10\) zēni un \(10\) meitenes. Divus bērnus var mainīt vietām, ja starp tiem stāv ne vairāk kā \(9\) citi bērni.
(A) Pierādi, ka ar \(10\) maiņām noteikti pietiek, lai panāktu, ka vispirms
stāv \(10\) zēni un pēc tam \(10\) meitenes.
(B) Pierādi, ka sākuma situācija var būt tāda, ka ar \(9\) maiņām nevar panākt,
ka vispirms stāv \(10\) zēni un pēc tam \(10\) meitenes.
(A) Sanumurēsim pozīcijas no \(1\) līdz \(20\). Mums jāpanāk, ka pozīcijās no \(1\) līdz \(10\) stāv zēni, bet no \(11\) līdz \(20\)- meitenes.
Aplūkosim pirmo pozīciju. Ja tur stāv zēns, tad viss jau kārtībā. Ja meitene, tad kādā no pozīcijām \(2\) līdz \(11\) noteikti stāv kāds zēns (jo vēl ir tikai \(9\) meitenes), tātad to var samainīt vietām ar \(1\) . pozīcijā stāvošo meiteni. Šādā veidā pirmajā solī ar vienu vai nevienu maiņu var panākt, ka pirmajā pozīcijā stāv zēns.
Tālāk otrajā solī tieši tādā pašā veidā panāk, ka otrajā pozīcijā stāv zēns, trešajā solī- ka trešajā pozīcijā stāv zēns utt.
Ar \(10\) soļiem, t.i., ar ne vairāk kā \(10\) maiņām var panākt, ka visās pozīcijās no \(1\) līdz \(10\) stāv zēni.
(B) Aplūkosim sākuma situāciju, kad meitenes stāv pozīcijās no \(1\) līdz \(10\), bet zēni- pozīcijās no \(11\) līdz \(20\). Katrā maiņā piedalās tikai viens zēns (\(2\) zēnu mainīšana vietām neko nemaina), tāpēc pēc \(9\) maiņām noteikti būs vismaz viens zēns, kas savu vietu nebūs mainījis, tātad joprojām atradīsies kādā no pozīcijām no \(11\) līdz \(20\).