LV.NOL.2013.12.2 lv
Nogrieznis \(BP\) ir trijstūra \(ABC\) bisektrise, punkti \(N\) un \(M\) ir attiecīgi malu \(AB\) un \(AC\) tādi iekšēji punkti, ka \(AN=PC\) un \(AM=BC\). Taisnes \(BP\) un \(MN\) krustojas punktā \(X\). Pierādīt, ka \(\triangle NBX \sim \triangle PBC\).
Atrisinājums
No bisektrises īpašības iegūstam \(\frac{AB}{AP}=\frac{BC}{PC}\). Tā kā \(AM=BC\) un \(AN=PC\), tad ir spēkā \(\frac{AB}{AP}=\frac{AM}{AN}\). Tāpēc \(\triangle ABP \sim \triangle AMN\). No tā seko, ka \(\sphericalangle ANM=\sphericalangle APB\). Savukārt \(\sphericalangle BNX=180^{\circ}-\sphericalangle ANM\) un \(\sphericalangle BPC=180^{\circ}-\sphericalangle APB\), tāpēc \(\sphericalangle BNX=\sphericalangle BPC\). No tā iegūstam vajadzīgo pēc pazīmes \(\ell \ell\).
Piezīme: punkts \(M\) var atrasties dažādās pusēs no \(P\) , kā arī sakrist ar to. Tomēr tas nekādi neietekmē uzdevuma risinājumu (piem., sk. 6. un 7.zīm.).