Atrisinājums

Aplūkosim visas iespējamās slēgtās lauztās līnijas, kas katra sastāv no \(n\) posmiem un visi tās \(n\) lauzuma punkti ir dotajos punktos. Pierādīsim, ka no tām lauztā līnija ar vismazāko perimetru arī ir meklētais \(n\)-stūris. Pieņemsim pretējo, ka šādai lauztai līnijai kādi divi posmi \(AB\) un \(CD\) krustojas punktā \(X\) , pie tam lauztā līnija turpinās no punkta \(A\) uz \(D\) un no punkta \(B\) uz \(C\) (skat. 5.zīm.):

Izdzēšam nogriežņus \(AB\) un \(CD\), un uzzīmējam nogriežņus \(AC\) un \(BD\). Pierādīsim, ka lauztās līnijas perimetrs samazinājās.

No trijstūra nevienādības seko, ka \(AC < AX+XC\) un \(BD < BX+XD\). Tāpēc \(AC+BD < (AX+XC)+(BX+XD)=(AX+BX)+(XC+XD)=AB+CD\), un jaunās lauztās līnijas perimetrs ir mazāks nekā iepriekšējēs, kas ir pretrunā ar pieņēmumu.