Zināms, ka \(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{10}\) ir dažādi naturāli skaitļi tādi, ka \(a_{1} > \sqrt{a_{2}}, a_{2} > \sqrt{a_{3}}\), \(\ldots\), \(a_{9} > \sqrt{a_{10}}\) un \(a_{10} > \sqrt{a_{1}}\). Aprēķināt mazāko iespējamo summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) vērtību.
Tā kā visi \(a_{i}\) (\(i=1,2, \ldots, 10\)) ir naturāli skaitļi, to mazākā iespējamā vērtība ir \(1\). Ja kāds no dotajiem skaitļiem \(a_{k}=1\), tad nevienādība \(a_{k}=1 > \sqrt{a_{k+1}}\) nav patiesa nevienam naturālam skaitlim \(a_{k+1}\). Tātad mazākā iespējamā skaitļu \(a_{i}\) vērtība ir \(2\). Viegli pārbaudīt, ka \(a_{1}=2\), \(a_{2}=3\), \(a_{3}=4\), \(a_{4}=5\), \(a_{5}=6\), \(a_{6}=7\), \(a_{7}=8\), \(a_{8}=9\), \(a_{9}=10\), \(a_{10}=11\) apmierina dotās nevienādības. Tā kā tie ir mazākie dažādie naturālie skaitļi, kas apmierina dotās nevienādības, tad summas \(a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{10}\) mazākā iespējamā vērtība ir
\[2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=65.\]