Naturālu skaitli sauksim par fantastisku, ja tas ir vienāds ar sava kvadrāta ciparu reizinājumu. Piemēram, \(1\) ir fantastisks (jo \(1^{2}=1\) un \(1=1\)), bet \(4\)- nē (jo \(4^{2}=16\), bet \(1 \cdot 6=6 \neq 4\) ). Pierādīt, ka visi nepāra skaitļi, kas lielāki par \(1\), nav fantastiski.
Viegli pārbaudīt, ka skaitli \(3, 5, 7\) un \(9\) nav fantastiski: \(3 \neq 9,5 \neq 10,7 \neq 36\) un \(9 \neq 8\).
Vairākciparu skaitļiem \(n\) interesēsimies par pēdējo un priekšpēdējo ciparu \(n^{2}\) decimālajā pierakstā.
Ja \(n=10k+1\), tad \(n^{2}=100k^{2}+10 \cdot 2k+1\) un \(n^{2}\) pēdējais cipars ir \(1\), bet priekšpēdējais pāra cipars.
Ja \(n=10k+3\), tad \(n^{2}=100k^{2}+10 \cdot 6k+9\) un \(n^{2}\) pēdējais cipars ir \(9\), bet priekšpēdējais- pāra cipars.
Ja \(n=10k+5\), tad \(n^{2}=100k^{2}+100k+25\) un \(n^{2}\) pēdējais cipars ir \(5\), bet priekšpēdējais- \(2\) (pāra cipars).
Ja \(n=10k+7\), tad \(n^{2}=100k^{2}+140k+49=100\left(k^{2}+k\right)+10(4k+4)+9\) un \(n^{2}\) pēdējais cipars ir \(9\), bet priekšpēdējais- pāra cipars.
Ja \(n=10k+9\), tad \(n^{2}=100k^{2}+180k+81=100\left(k^{2}+k\right)+10(8k+8)+1\) un \(n^{2}\) pēdējais cipars ir \(1\), bet priekšpēdējais- pāra cipars.
Līdz ar to, ja \(n\) ir nepāra skaitlis, tad \(n^{2}\) satur vismaz vienu pāra ciparu un visu ciparu reizinājums ir pāra skaitlis, tātad nav vienāds ar \(n\).