LV.NOL.2011.12.2 lv
Trijstūrī \(ABC\) caur patvaļīgu malas \(BC\) iekšējo punktu \(P\) tiek vilktas taisnes \(u \| AC\) un \(v \| AB\), kuras krusto malas \(AB\) un \(AC\) attiecīgi punktos \(M\) un \(N\). Pierādīt, ka trijstūra \(ABC\) laukums ir vienāds ar trijstūru \(MBC\) un \(NBC\) laukumu summu.
Atrisinājums
Ievērojam, ka \(S(ABC)=S(MBP)+S(NPC)+S(AMPN)\), \(S(MBC)=S(MBP)+S(MPC)\), \(S(NBC)=S(NPC)+S(NBP)\). Lai pierādītu prasīto atliek pierādīt, ka S(MPC)+S(NBP)=S(AMPN).
Bet \(S(MPC)=\frac{1}{2} MP \cdot h_{1}=\frac{1}{2} S(AMPN)\), jo augstums no \(C\) pret \(MP\) ir vienāds ar augstumu no \(A\) pret \(MP\), jo \(AC||MP\). Tāpat \(S(NBP)=\frac{1}{2} NP \cdot h_{2}=\frac{1}{2} S(AMPN)\), jo augstums no \(B\) pret \(NP\) ir vienāds ar augstumu no \(A\) pret \(NP\), jo \(AB || NP\).
