LV.NOL.2010.9.2 lv
Divas riņķa līnijas krustojas. To rādiusu garumi ir \(R\) un \(r\), bet attālums starp to centriem ir \(d\). Vienā no abu riņķa līniju krustpunktiem tām abām novilktas pieskares. Pierādīt: šīs pieskares ir perpendikulāras viena otrai tad un tikai tad, ja \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\)
Atrisinājums
Atceramies, ka
(A) pieskare ir perpendikulāra rādiusam, kura galapunktā tā novilkta,
(B) tātad taisne, kas novilkta perpendikulāri rādiusam tā galapunktā, ir pieskare.
- Pieņemsim, ka \(R^{2}+r^{2}=d^{2}\). Novelkam rādiusus uz r.l. krustpunktu \(A\). Tad \(OA^{2}+SA^{2}=OS^{2}\), tātad pēc Pitagora teorēmai apgrieztās teorēmas \(\triangle OAS\) ir taisnleņķa. Tāpēc taisne \(SA\) (pēc augšminētā (B) punkta) ir r.l. \(w_{1}\) pieskare, un tāpat taisne \(OA\) ir \(w_{2}\) pieskare. Tātad abas pieskares punktā \(A\) ir savstarpēji perpendikulāras.
- Pieņemam, ka pieskares krustpunktā \(A\) ir savstarpēji perpendikulāras (3.zīm.). Tā kā \(t \perp l\), tad \(t\) satur \(w_{2}\) rādiusu, tātad iet caur \(S\). Līdzīgi \(l\) iet caur \(O\). Tāpēc \(\triangle OAS\) ir taisnleņķa, un no Pitagora teorēmas seko vajadzīgais.