Dots, ka \(p\) un \(q\) ir naturāli skaitļi un kvadrātvienādojuma \(x^{2}+px+q=0\) saknes ir \(x_{1}\) un \(x_{2}\). Pierādīt, ka
(A) \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\),
(B) \(x_{1}^{8}+x_{2}^{8}\),
(C) \(x_{1}^{5}+x_{2}^{5}\)
ir vesels skaitlis.
Ievērojam, ka \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2\left(x_{1}x_{2}\right)=p^{2}-2q\) ir vesels skaitlis. Tālāk, \(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}=\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)^{2}-2 x_{1}^{2}x_{2}^{2}\) arī ir vesels skaitlis. Līdzīgi seko, ka \(x_{1}^{8}+x_{2}^{8}\) ir vesels skaitlis.
(C) gadījumā vispirms pierādīsim, ka
\(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=\left(x_{1}+x_{2}\right)\left(\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-3x_{1}x_{2}\right)=(-p)\left(p^{2}-3q\right)\) ir vesels skaitlis.
Tālāk \(\left(x_{1}^{5}+x_{2}^{5}\right)=\left(x_{1}^{4}+x_{2}^{4}\right)\left(x_{1}+x_{2}\right)-\left(x_{1}x_{2}\right)\left(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\right)\), un atkal lietojam Vjeta teorēmu līdz ar iepriekšējiem rezultātiem.