LV.NOL.2010.10.3 lv
Taisnleņķa trijstūrī \(ABC\) augstums no taisnā leņķa \(B\) virsotnes ir \(BD\). Trijstūros \(ABD\) un \(BCD\) ievilkto riņķu centri ir \(O_{1}\) un \(O_{2}\). Pierādīt, ka \(\triangle ABC\) un \(\triangle O_{1}DO_{2}\) ir līdzīgi savā starpā.
Atrisinājums
Tā kā \(\sphericalangle O_{1}DB=\sphericalangle O_{2}DB=45^{\circ}\), tad \(\sphericalangle O_{1}DO_{2}=90^{\circ}\). Atceramies, ka \(\triangle ADB\) un \(\triangle BDC\) ir līdzīgi (piemēram, pēc diviem leņķiem). Līdzīgos trijstūros visi atbilstošie elementi ir proporcionāli; tāpēc \(O_{1}D:AB=O_{2}D:BC\) (atbilstošie elementi- attālumi no iecentra līdz taisnā leņķa virsotnei un hipotenūzai). Tāpēc \(\triangle O_{1}DO_{2} \sim \triangle ABC\) (leņķu vienādība un sānu malu proporcionalitāte).
