Atrisinājums

\(\underline{Atbilde:}\) ar \(100\) pieskāršanās reizēm.

\(\underline{Risinājums:}\) (A) pieskaroties katrai spuldzei \(1\) reizi, katra spuldze maina savu stāvokli \(19\) (nepāra skaitu) reižu, tātad gala rezultātā no izslēgtas kļūst par ieslēgtu.

(B) pierādīsim, ka \(100\) ir meklētais minimums. Skaidrs, ka varam apskatīt situāciju, kad katrai spuldzei vai nu nepieskaras nemaz, vai pieskaras vienu reizi, jo divas pieskāršanās vienai spuldzei savstarpēji anulējas. Pieņemsim no pretējā, ka kādai spuldzei \(S\) nepieskaras.

Tad rindā \(\alpha\) un kolonnā \(\beta\) kopā jābūt nepāra skaitam pieskaršanos; varam pieņemt, ka rindā \(\alpha\) ir nepāra skaits pieskaršanos. Šo pieskaršanos dēļ katra spuldze rindā \(\alpha\) mainījusi savu stāvokli nepāra skaitu reižu; tāpēc \(\underline{katrā\ kolonnā\ jābūt\ pāra\ skaitam\ pieskaršanos\ ārpus\ \alpha}\). Tāpēc kopīgais pieskaršanos skaits ārpus \(\alpha\) ir pāra skaitlis. Pieskaitot vēl pieskāršanās rindā \(\alpha\), kopējais pieskaršanos \(\underline{skaits\ ir\ nepāra\ skaitlis}\). Katra pieskāršanās izsauc izmaiņas \(19\) spuldzēs, tāpēc kopējais izmaiņu skaits \(\underline{S\ ir\ nepāra\ skaitlis}\). Bet katra no \(100\) spuldzēm maina savu stāvokli nepāra skaitu reižu, tāpēc \(\underline{S\ kā\ 100\ nepāra\ skaitļu\ summa\ ir\ pāra\ skaitlis}\). Iegūta pretruna.