Kvadrāts sastāv no \(n \times n\) vienādām kvadrātiskām rūtiņām. Katrā rūtiņā ierakstīts nenegatīvs vesels skaitlis. Visu ierakstīto skaitļu summa ir \(101\). Katrās divās rūtiņās, kurām ir kopīga mala, ierakstītie skaitļi atšķiras viens no otra tieši par \(1\). Kāda ir lielākā iespējamā \(n\) vērtība?
Atbilde: \(n=13\).
Parādīsim, ka šī vērtība der. Izkrāsojam rūtiņas šaha galdiņa kārtībā tā, ka stūra rūtiņas ir melnas. Melnajās rūtiņās ierakstām " \(1\) ", \(8\) baltajās rūtiņās " \(2\) ", citās baltajās rūtiņās " \(0\) ". Tiešām, \(85 \cdot 1+8 \cdot 2=85+16=101\).
Ja \(n\) - pāra skaitlis, tad gan balto, gan melno rūtiņu ir pāra skaits. Melnajās rūtiņās ir vienas paritātes skaitļi, baltajās - otras. Tātad kopā jābūt ierakstītam pāra skaitam nepāra skaitļu; tāpēc ierakstīto skaitļu summa nevar būt nepāra skaitlis \(101\).
Ja \(n\) - nepāra skaitlis, \(n \geqq 15\), tad katras krāsas rūtiņu ir vismaz \((225-1):2=112\). Vienas krāsas rūtiņās visi skaitļi ir nepāra, tātad vismaz \(1\); tāpēc to summa ir vismaz \(112>101\) pretruna.