LV.NOL.2008.12.4 lv
Trijstūrī \(ABC\) dots, ka \(AC<BC\). Apzīmējam apvilkto riņķa līniju ar \(w\). Punkts \(E\) ir viduspunkts tam no \(w\) lokiem \(AB\), kurš satur \(C\). Punkts \(D\) atrodas uz nogriežņa \(BC\) un \(BD=AC\). Stars \(ED\) krusto \(w\) punktā \(F\), kas nesakrīt ar \(A\). Pierādīt, ka \(AF \parallel BC\).
Atrisinājums
Pastāv \(2\) gadījumi: (A) \(F\) pieder lokam \(AB\), (B) \(F\) pieder lokam \(AC\).
(B) no ievilktu leņķu īpašībām \(\sphericalangle CAE=\sphericalangle CBE=\sphericalangle DBE\); no \(E\) izvēles \(AE=BE\); no konstrukcijas \(AC=BD\). Tāpēc \(\triangle CAE=\triangle DBE\ (m \ell m)\). Tāpēc \(\sphericalangle CEA=\sphericalangle DEB=\sphericalangle FEB\); vienādi ievilkti leņķi balstās uz vienādiem lokiem. Tāpēc loki \(AmC\) un \(FnB\) vienādi savā starpā. Pēc teorēmas par paralēlām hordām \(AF \parallel CB\), k.b.j.
(B) iepriekšējā pierādījuma galā aiz teikuma "Tāpēc loki \(AmC\) un \(FnB\) vienādi savā starpā." jāiestarpina "Atņemot no tiem abiem loku \(AF\), iegūstam, ka loki \(FmC\) un \(AnB\) vienādi savā starpā".