Atrisinājums

(A) jā, var; skat. 9.zīm.

(B) nē, nevar. Pieņemam, ka tas izdevies. Apzīmējam skaitļus izrakstīšanas secībā ar \(a_{1}; a_{2}; \ldots; a_{7}\); varam pieņemt, ka \(a_{1}<a_{2}\). Tad jābūt \(a_{2}>a_{3},\ a_{3}<a_{4},\ a_{4}>a_{5},\ a_{5}<a_{6},\ a_{6}>a_{7},\ a_{7}<a_{1},\ a_{1}>a_{2}\) - pretruna. (Izšķirošais bija tas, ka \(7\) - nepāra skaitlis.)

(C) nē, nevar. Apskatām piecas desmitstūra virsotnes, kas veido regulāru piecstūri, un spriežam par tām kā (B) gadījumā.

(D) jā, var. Skat. 10.zīm.

Komentārs. Uzdevuma prasības ir izpildāmas tad un tikai tad, ja \(n\) ir divnieka pakāpe ar naturālu kāpinātāju. Ja \(n\) dalās ar kādu nepāra pirmskaitli \(p\), apskatām regulāru \(p\)-stūri ar virsotnēm \(n\)-stūra virsotnēs un spriežam kā (B) gadījumā. Induktīvā pāreja no \(n=2^{k}\) uz \(n=2^{k+1}\) shematiski attēlota 11.zīm.; ar tās palīdzību no 12.zīm. iegūts 9.zīm. un no 9.zīm. - 10.zīm.