Sākums

LV.NOL.2007.7.5   lv

Profesoram Cipariņam ir \(10\) monētas; tieši \(2\) no tām ir viltotas, bet viņš nezina, kuras. Cipariņš pazīst burvi, kuram vienā reizē var iedot pārbaudīt \(3\) monētas; pēc pārbaudes burvis atdod monētas atpakaļ un klusējot norāda uz vienu no tām. Ir zināms: burvis nenorāda uz īstu monētu, ja starp viņam iedotajām trim monētām ir kaut viena viltota. Kā ar \(4\) pārbaudēm Cipariņš var garantēti noskaidrot vismaz vienu viltoto monētu?

Hide solution

Atrisinājums

Var rīkoties, piemēram, šādi:

  1. Iedodam burvim \(3\) monētas; to, uz kuru viņš norāda, apzīmējam ar \(A\), pārējās - ar \(B\) un \(C\).
  2. Iedodam burvim \(3\) citas monētas; to, uz kuru viņš norāda, apzīmējam ar \(D\), pārējās - ar \(E\) un \(F\).
  3. Iedodam burvim \(3\) citas monētas; to, uz kuru viņš norāda, apzīmējam ar \(G\), pārējās - ar \(H\) un \(I\).
  4. Iedodam burvim \(A,\ D,\ G\). Pieņemsim, ka viņš norāda uz \(A\) (citus gadījumus analizē tieši tāpat).

Pierādīsim, ka \(\mathbf{A}\) ir viltota. Tiešām, vismaz viena viltota monēta starp jau pārbaudītajām deviņām ir. Tāpēc vismaz viena no \(A,\ D,\ G\) ir viltota; tāpēc \(A\) ir viltota.