Uz katras no \(n\) kartiņām uzrakstīts pa naturālam skaitlim (starp tiem var būt arī vienādi). Zināms, ka vienlaicīgi izpildās šādas īpašības:
Pierādiet, ka mazākā iespējamā \(n\) vērtība ir \(13\).
Var ņemt, piemēram, \(13\) kartiņas ar skaitļiem
\[1;\ 1;\ 1;\ 1;\ 2;\ 2;\ 3;\ 4;\ 4;\ 5;\ 5;\ 5;\ 5.\]
Parādīsim, ka \(13\) ir mazākais iespējamais kartiņu skaits. Pieņemsim, ka \(a\) un \(b\) - divi mazākie dažādi skaitļi, \(a<b\). Tā kā summai \(a+b\) jāizsakās vēl citādi, jābūt vēl pa vienam eksemplāram gan \(a\), gan \(b\). Lai summu \(a+a\) varētu izsacīt ar citām kartiņām, jābūt vēl diviem \(a\) eksemplāriem. Līdzīgi konstatē, ka lielākajai vērtībai \(d\) jābūt vismaz uz \(4\) kartiņām un otrai lielākajai vērtībai \(c\) - vismaz uz \(2\) kartiņām. Tā kā jābūt vismaz \(5\) dažādiem skaitļiem, tad nepieciešama vēl \(13.\) kartiņa.